Глава 5. Рынок финансов |
Математическое приложение 1: Для оценки оптимизации введем следующие обозначения: ri - ожидаемая доходность i-й ценной бумаги; i = 1, 2, ... , n; gi - доля i-й ценной бумаги в портфеле; sij - ковариация между i-й и j-й ценными бумагами; rp - ожидаемая доходность портфеля; p - стандартное отклонение ожидаемой доходности портфеля. В соответствии с теорией вероятности
Дана функция полезности инвестора, характеризующая его отношение к доходности и риску: , где - параметр предпочтения между риском и доходностью. Задача. max при . Решение. Воспользуемся функцией Лагранжа где - сомножитель Лагранжа. Условия максимизации в матричной форме имеют следующий вид:
Обозначим буквой R уменьшаемое в равенстве (1), первый сомножитель вычитаемого (матрицу) - буквой C, а второй сомножитель (вектор) - буквой G. Тогда условие максимизации функции Лагранжа можно записать в виде: R - CG = 0 G = C-1 R. Определим обратную матрицу к матрице C. Для краткости обозначим все ее элементы, кроме последнего столбца и последней строки, aij. Элементы последнего столбца и последней строки получаются одинаковыми, и их обозначим ci. В этой матрице . Для определения оптимальной структуры портфеля остается решить систему уравнений Обозначив , получим следующую формулу для расчета оптимальной доли каждого вида ценных бумаг в портфеле:
Определим портфель с минимальным риском. Параметр представляет собой тангенс угла, образованного осью ординат и касательной к области выбора инвестора в точке, соответствующей оптимальному портфелю (см. рис. 5.13). Когда инвестор отдает предпочтение портфелю с минимальным риском, тогда касательная становится параллельной оси ординат, поэтому = 0. Следовательно, у такого портфеля gi = ci, т.е. последний столбец (строка) обратной матрицы C-1 представляет структуру портфеля с минимальным риском. Доходность и риск его будут
Для определения структуры портфеля, отвечающего другим требованиям инвестора, удобно использовать специфический показатель
Посредством показателей rpmin, pmin и легко можно найти структуру портфеля, соответствующего конкретным требованиям инвестора. Допустим, нужно сформировать портфель с заданной ожидаемой доходностью . В соответствии с равенствами (2) и (3)
Из равенства (5) определим, какому значению ? соответствует желание инвестора иметь ожидаемую доходность портфеля, равную ,
Подставив значение , полученное из выражения (6), в уравнение (2), найдем структуру портфеля с заданной ожидаемой доходностью. Для определения структуры портфеля с заданной степенью риска примем во внимание, что
Первое слагаемое в выражении (7) - вариация портфеля с минимальным риском (см. равенство (4)). После преобразований второе слагаемое можно представить в виде
а третье слагаемое равно нулю. Поэтому
Подставив выражение (8) в уравнение (2), найдем структуру портфеля с заданной степенью риска. Пример. На основе наблюдений за фондовым рынком для трех видов акций установлены характеристики, представленные в табл. 1. Таблица 1
Составим из этих акций портфель: Таблица 2
Таблица 3
Последний столбец табл. 3 указывает на то, что в портфеле с минимальным риском должно быть акций, %, A - 69,88, акций B - 15,47 и С - 14,65. Обратим внимание на то, что акций A в портфеле оказалось значительно больше, чем B, хотя по сочетанию доходности и риска первые уступают вторым. Ожидаемая доходность такого портфеля равна 12,97% при p = 11,11%. Для определения структуры портфеля, максимизирующей заданную функцию полезности, вычислим bi:
Теперь по формуле (2) найдем искомую структуру портфеля
Ожидаемая доходность этого портфеля равна 15,7%, а p = 13,35%. Для нахождения структуры портфеля с заданной ожидаемой доходностью 17% определим значение в условиях рассматриваемого примера: = -0,01077·10 + 0,009308·15 + 0,001462·25 = 0,06848. По формуле (6) определим значение , соответствующее желанию инвестора иметь rp = 17%,
И снова по формуле (2) найдем искомую структуру портфеля gA = 0,69882 - 58,84·0,01077 = 0,0651; Портфель с такой структурой имеет P = 17%,P = 15,55%. И наконец, определим структуру портфеля с риском P = 18%. Такому желанию инвестора соответствует
Тогда gA = 0,69882 - 76,54·0,01077 = -0,126; Такой портфель имеет P = 18,21%,P = 18%. |