Математическое приложение 1:
Оптимизация структуры портфеля из n разновидностей рисковых ценных бумаг

Для оценки оптимизации введем следующие обозначения: r_i - ожидаемая доходность i-й ценной бумаги; i = 1, 2, ... , n; g_i - доля i-й ценной бумаги в портфеле; s_ij - ковариация между i-й и j-й ценными бумагами; r_p - ожидаемая доходность портфеля; _p - стандартное отклонение ожидаемой доходности портфеля.

В соответствии с теорией вероятности

Дана функция полезности инвестора, характеризующая его отношение к доходности и риску: , где - параметр предпочтения между риском и доходностью.

Задача. max при .

Решение. Воспользуемся функцией Лагранжа

где - сомножитель Лагранжа.

Условия максимизации в матричной форме имеют следующий вид:

.

(1)

Обозначим буквой R уменьшаемое в равенстве (1), первый сомножитель вычитаемого (матрицу) - буквой C, а второй сомножитель (вектор) - буквой G. Тогда условие максимизации функции Лагранжа можно записать в виде:

R - CG = 0 G = C^-1 R.

Определим обратную матрицу к матрице C. Для краткости обозначим все ее элементы, кроме последнего столбца и последней строки, a_ij. Элементы последнего столбца и последней строки получаются одинаковыми, и их обозначим ci.

В этой матрице .

Для определения оптимальной структуры портфеля остается решить систему уравнений

Обозначив , получим следующую формулу для расчета оптимальной доли каждого вида ценных бумаг в портфеле:

.

(2)

Определим портфель с минимальным риском. Параметр представляет собой тангенс угла, образованного осью ординат и касательной к области выбора инвестора в точке, соответствующей оптимальному портфелю (см. рис. 5.13). Когда инвестор отдает предпочтение портфелю с минимальным риском, тогда касательная становится параллельной оси ординат, поэтому  = 0. Следовательно, у такого портфеля g_i = c_i, т.е. последний столбец (строка) обратной матрицы C^-1 представляет структуру портфеля с минимальным риском. Доходность и риск его будут

;

(3)

.

(4)

Для определения структуры портфеля, отвечающего другим требованиям инвестора, удобно использовать специфический показатель

.

Посредством показателей r_pmin, _pmin и легко можно найти структуру портфеля, соответствующего конкретным требованиям инвестора.

Допустим, нужно сформировать портфель с заданной ожидаемой доходностью . В соответствии с равенствами (2) и (3)

(5)

Из равенства (5) определим, какому значению ? соответствует желание инвестора иметь ожидаемую доходность портфеля, равную ,

.

(6)

Подставив значение , полученное из выражения (6), в уравнение (2), найдем структуру портфеля с заданной ожидаемой доходностью.

Для определения структуры портфеля с заданной степенью риска примем во внимание, что

(7)

Первое слагаемое в выражении (7) - вариация портфеля с минимальным риском (см. равенство (4)). После преобразований второе слагаемое можно представить в виде

,

а третье слагаемое равно нулю. Поэтому

.

(8)

Подставив выражение (8) в уравнение (2), найдем структуру портфеля с заданной степенью риска.

Пример. На основе наблюдений за фондовым рынком для трех видов акций установлены характеристики, представленные в табл. 1.

Таблица 1

Акция	i, %	i, %	Корреляция ij			Ковариация sij
			A	B	C	A	B	C
A	10	14	1	0,5	-0,35	196	98	-196
B	15	14	-	1	0,3		196	168
C	25	40	-	-	1			1600

Составим из этих акций портфель:
а) с минимальным риском;
б) максимизирующий функцию полезности ;
в) с ожидаемой доходностью 17%;
г) с риском _p = 18%.
В данном примере матрицу системы уравнений (1) можно представить в виде табл. 2, а обратную к ней - в виде табл. 3.

Таблица 2

Таблица 3

Последний столбец табл. 3 указывает на то, что в портфеле с минимальным риском должно быть акций, %, A - 69,88, акций B - 15,47 и С - 14,65. Обратим внимание на то, что акций A в портфеле оказалось значительно больше, чем B, хотя по сочетанию доходности и риска первые уступают вторым. Ожидаемая доходность такого портфеля равна 12,97% при _p = 11,11%.

Для определения структуры портфеля, максимизирующей заданную функцию полезности, вычислим b_i:

.

Теперь по формуле (2) найдем искомую структуру портфеля

Ожидаемая доходность этого портфеля равна 15,7%, а _p = 13,35%.

Для нахождения структуры портфеля с заданной ожидаемой доходностью 17% определим значение в условиях рассматриваемого примера:

 = -0,01077·10 + 0,009308·15 + 0,001462·25 = 0,06848.

По формуле (6) определим значение , соответствующее желанию инвестора иметь r_p = 17%,

.

И снова по формуле (2) найдем искомую структуру портфеля

g_A = 0,69882 - 58,84·0,01077 = 0,0651;
g_B = = 0,15469 + 58,84·0,00931 = 0,7024;
g_C = = 0,1465 + 58,84·0,001462 = 0,2325.

Портфель с такой структурой имеет _P = 17%,_P = 15,55%.

И наконец, определим структуру портфеля с риском _P = 18%. Такому желанию инвестора соответствует

.

Тогда

g_A = 0,69882 - 76,54·0,01077 = -0,126;
g_B = 0,15469 + 76,54·0,00931 = 0,8671;
g_C = 0,1465 + 76,54·0,001462 = 0,2584.

Такой портфель имеет _P = 18,21%,_P = 18%.