Математическое приложение 2:
Модель «принципал-агент»

При имеющемся у принципала капитале результаты хозяйственной деятельности являются стохастической функцией количества затрачиваемого агентом труда:

Q = aL + ,

где a - показатель производительности, - стохастическая переменная с нулевым ожиданием.

Денежный эквивалент своих физических и умственный затрат агент оценивает по формуле:

H = bL²; 0 < b < 1.

Оплата труда агента состоит из двух частей: фиксированной суммы (r), независящей от количества труда и выпуска, и доли () конечного результата хозяйственной деятельности:

M(r,,) = r + Q.

Агент согласен трудиться, если M  H.

Вариант 1. Агент безразличен к риску и его усердие неконтролируемо.

В этом случае М = M(r,). Функция полезности агента имеет вид:

UA = r + aL - bL2,

(1)

а принципала -

UP = Q - M = aL - r  -  aL.

(2)

Отсюда функция общественного благосостояния:

W = UA + UP = aL - bL2.

Она достигает максимума при a = 2bL  L* = a/2b. Таков оптимальный объем использования труда.

Фактическое предложение труда определяется из условия максимизации функции (1):

.

(3)

Следовательно, чтобы L_S = L*, требуется  = 1, т.е. весь результат хозяйственной деятельности нужно передать агенту.

Цель принципала - максимизировать функцию (2) при ограничении (3) и равенстве M = H:

r + aL = bL2 r = bL2 - aL.

(4)

Подставим значение (4) в функцию (2):

U_P = aL - bL² + aL - aL = aL - bL².

и заменим L его значением в выражении (3):

.

Функция полезности принципала достигает максимума при:

.

Таким образом и в интересах принципала передать весь результат агенту. В этом случае L^S = a/2b = L*. Подставив это значение в условие (4), найдем

.

Отрицательное значение фиксированной части оплаты труда агента означает, что с него надо брать арендную плату. Подставим значения арендной платы, L^S и  = 1 в функцию полезности агента:

.

Таким образом, агент «остался при своих» и вся польза сотрудничества досталась принципалу.

Вариант 2. Агент склонен избегать риск и его усердие контролируемо.

Отобразим неприязнь агента к риску тем, что предельная полезность дохода от конечного результата для него убывает, т.е.

UA = r + (aL)0,5 - bL2.

(5)

Функция полезности принципала остается прежней. Поэтому функция общественной полезности имеет вид:

W = [(aL)^0,5 - aL] + aL - bL².

Теперь общественное благосостояние зависит не только от количества затрачиваемого труда, но и от пропорции распределения экономического результата. Так как разность в квадратной скобке отрицательна, то общественное благосостояние достигает максимума при  = 0, т.е. весь результат должен остаться у принципала. В этом случае W = aL - bL² и оптимальный объем использования труда по-прежнему L* = a/2b, а найденная из выражения (4) автономная часть оплаты r = bL². Поскольку принципал может контролировать количество и качество труда, то система его оплаты такова:

Вариант 3. Агент склонен избегать риск и его усердие неконтролируемо.

Количество предлагаемого агентов труда определяется из условия максимизации его функции полезности (5):

(6)

Рис. 1. Функция полезности принципала

Теперь равенство М = Н, определяющее нижнюю границу оплаты труда агента, имеет вид: (7) Заменив в функции полезности принципала (2) L и r на их значения в выражениях (6) и (7), получим: Примем а = 9; b = 0,25. В этом случае максимум полезности принципал получает при  = 0,69 (см. рис. 1).