Математическое приложение 2.
Определение условий совместной оптимальности по Парето в производстве и обмене

В хозяйстве имеются два потребителя (I и II), каждый из которых имеет определенное количество труда и капитала (L_I, K_I и L_II, K_II). Факторы производства используются для выпуска двух разновидностей благ (А и В) по технологиям, представленным производственными функциями:

A = A(L_A, K_A); B = B(L_B, K_B),

где L_A, K_A, L_B, K_B количества соответственно труда и капитала, использующиеся для выпуска каждого из благ.

Предпочтения потребителей, определяющие их спрос на блага, и предложение принадлежащих им факторов заданы функциями полезности

U_I = U_I(A_I, B_I, L_I, K_I); U_II = U_II(A_II, B_II, L_II, K_II).

В приведенных условиях оптимальное по Парето состояние в обмене и производстве одновременно устанавливается тогда, когда функция полезности одного из потребителей (возьмем I) достигает максимума при заданном благосостоянии (заданном значении функции полезности) другого:

U_I(A_I, B_I, L_I, K_I)  max

при следующих ограничениях:

1) U_II(A_II, B_II, L_II, K_II) =  = const;
2) L_I + L_II = L_A + L_B;
3) K_I + K_II = K_A + K_B;
4) A_I + A_II = A(L_A, K_A);
5) B_I + B_II = B(L_B, K_B).

Соответствующая данной задаче функция Лагранжа имеет вид

Условием ее максимизации является следующая система уравнений:

Из решения системы уравнений «1» - «17» наряду со значениями пяти сомножителей Лагранжа определяются значения 12 натуральных показателей, представляющих Парето-эффективное состояние одновременно в обмене и производстве:

Чтобы условия достижения Парето-эффективности одновременно в обмене и производстве представить в виде равенства (8.13), разделим условие «6» на условие «7»

(a)

условие «10» на условие «11»

(б)

условие «14» на условие «15»

(в)

условие «16» на условие «17»

(г)

Из равенств (а) - (г) следует, что

,

т.е. .