Учет риска

Рассмотрим теперь роль риска при формировании портфеля ценных бумаг. Риск, связанный с приобретением некоторых видов ценных бумаг, обусловлен тем, что ожидаемый от них доход - величина случайная; он может принимать различные числовые значения с определенными вероятностями.

Вероятность характеризует степень достоверности наступления некоторого события. Вероятность гарантированного события принимают за единицу, а невозможного - за нуль. Вероятность случайной величины больше нуля, но меньше единицы, причем сумма вероятностей всех возможных ее значений равна единице.

Существуют два основных способа определения вероятности наступления случайного события: объективный (исторический) и субъективный (прогнозный). Объективная оценка вероятности выводится по данным статистической обработки результатов наблюдений за повторяющимися процессами, порождающими случайные события. Таким образом можно определить вероятность того, что в апреле текущего года в Москве среднемесячная температура будет выше нуля или что 31 декабря в городе не будет дорожно-транспортных происшествий. Иногда объективную оценку вероятности наступления некоторого случайного события можно дать априори: например, вероятность выпадения числа 3, как и любого другого от 1 до 6, при бросании шестигранного кубика равна 1/6. Субъективная оценка вероятности сводится к более или менее обоснованному прогнозу частоты появления возможных значений случайной величины. В инвестиционных расчетах обычно приходится иметь дело с новыми технологиями, и поэтому с субъективными оценками вероятности.

На основе заданных вероятностей случайных величин строят различные алгоритмы определения их средних ожидаемых значений. Чаще всего ожидаемое значение рассчитывают как средневзвешенную по вероятностям величину. Так, если в следующем году прибыль фирмы с вероятностью 0,1 может равняться и 15, и 30 ден. ед., с вероятностью 0,2 - и 18, и 24 ден. ед. и с вероятностью 0,4 - 20 ден. ед., то ожидаемая величина составит
0,1(15 + 30) + 0,2(18 + 24) + 0,4·20 = 20,9 ден. ед.

Поскольку количественные оценки вероятности не всегда достоверны, то фактическое значение прогнозируемой величины может не совпасть с ожидаемым. Отсюда возникает понятие риска: существует риск, что фактическая величина не совпадет с ожидаемой. Вероятность отклонения фактической величины от ожидаемой тем больше, чем шире разброс значений случайной величины. Поэтому в качестве меры риска, присущего решению с вероятностным исходом, используют так называемое стандартное отклонение () - среднеквадратическое абсолютное отклонение возможных значений случайной переменной от ожидаемого. В приведенном выше примере риск не получить в будущем году прибыль в размере 20,9 ден. ед. составит

 = [(20,9 - 15)² + (20,9 - 18)² + (20,9 - 20)² + (20,9 - 24)² + (20,9 - 30)²]^0,5 = 11,7.

Величину ² называют дисперсией или вариацией.

Две случайные переменные x, y могут оказаться стохастически зависимыми или независимыми. Это определяется тем, насколько появление значения  (i = 1, ... , n) связано с появлением значения  (j = 1, ... , m). Обозначим буквой w_ij вероятность того, что переменная y примет значение тогда, когда переменная x примет значение . Тогда характер зависимости двух случайных переменных можно отобразить следующей матрицей:

Количественной мерой взаимозависимости двух случайных переменных служит ковариация

Часто удобней характеризовать степень взаимозависимости двух случайных переменных посредством коэффициента корреляции: По построению значение коэффициента корреляции находится в интервале -1    +1. Если (соответственно  = 0), то x и y являются стохастически независимыми или некоррелируемыми случайными переменными; при  = 1 случайные значения x и y находятся в положительной, а при  = -1 - в отрицательной линейной зависимости. На рис. 5.2 показано, как располагаются точки, представляющие одновременные значения доходности двух ценных бумаг при   0,   +1 и   -1.

Рис. 5.2. Нулевая (а) положительная (б) и отрицательная (в) корреляция между доходностью двух ценных бумаг

Каждая точка в системе координат rA, rB представляет определенную комбинацию доходности двух видов ценных бумаг A и B. При нулевой корреляции (см. рис. 5.2, а) расположение точек не имеет ярко выраженной направленности. Если рост доходности одной акции сопровождается ростом доходности другой (рис. 5.2, б), то наблюдается положительная корреляция. При отрицательной корреляции с ростом доходности одной акции происходит снижение доходности другой (рис. 5.2, в)4.

 5.2

В дальнейшем нам придется воспользоваться еще рядом положений теории вероятностей. Ожидаемое значение суммы случайных переменных равно сумме их средних ожидаемых значений

.

Если a и b некоторые константы, то

.

(5.1)

Дисперсия суммы двух случайных переменных

соответственно

(5.2)

Если случайные переменные стохастически независимы, то  = 0, тогда

соответственно

(5.2a)

Необходимость учитывать наряду с доходностью акции и ее риск значительно расширяет область выбора инвестора при формировании портфеля. Допустим, на фондовом рынке обращаются акции шести фирм. Характеристики этих акций приведены в табл. 5.4.

Рис. 5.3. Доходность и риск акций

Таблица 5.4 Доходность и риск акций Показатели, % Акции фирмы A B C D E F r 7 9 9 12 15 15 12 8 20 30 30 25 Для большей наглядности представим эти данные в графическом виде (рис. 5.3). На первый взгляд акции фирм A, C и D будут вытеснены с рынка, так как с точки зрения типичного инвестора по соотношению доходности и риска акции фирмы B предпочтительнее акций фирм A и C, а вместо акций фирмы D целесообразнее купить акции либо фирмы E, либо F. В действительности на фондовом рынке могут одновременно и постоянно обращаться акции всех указанных фирм. Почему это так, объясняет теория портфеля.