5.3. Составление портфеля из двух разновидностей акций

При наличии на рынке ценных бумаг лишь двух акций A и B область выбора инвестора не сводится к двум сочетаниям r_A, _A и r_B, _B. Для составления портфеля можно использовать бесчисленное множество комбинаций из определенного количества каждой из акций. Согласно свойству (5.1) ожидаемая доходность таких комбинаций определяется по формуле

,

(5.3)

где - ожидаемые доходности соответственно портфеля и акций A и B; n_A, (1 - n_A) = n_B - доли каждой из акций в общей ценности портфеля.

Степень риска каждого из возможных вариантов портфеля в соответствии со свойством (5.2) будет

.

(5.4)

Из уравнения (5.3) следует, что при n_A + n_A = 1 доходность портфеля не может превышать доходность наиболее доходной акции. Поэтому, казалось бы, составлять смешанный портфель нет смысла. Однако риск портфеля, как следует из уравнения (5.4), ниже риска отдельных акций, включенных в него, не только при отрицательном коэффициенте корреляции. Чтобы этот вывод сделать более наглядным, составим портфель из акций двух фирм, имеющих не только одинаковую ожидаемую доходность , но и одинаковую степень риска . Ожидаемая доходность такого портфеля - r, а ее вариация

².

Рис. 5.4. Безрисковый портфель из двух рисковых акций

Отсюда следует, что основным параметром, который определяет соотношение рисков портфеля и составляющих его ценных бумаг, является коэффициент корреляции. Поскольку -1    +1, то риск портфеля не выше риска входящих в него акций. При  = 0 измеряемый дисперсией риск данного портфеля вдвое меньше, чем отдельной акции: . Если  = -1, то получаем безрисковый портфель:  = 0. Объяснение того, как из двух рисковых активов получается безрисковый портфель, представлено на рис. 5.4, где показана динамика доходности во времени двух акций при  = -1. Несмотря на колебания доходности каждой из акций, у портфеля она не изменяется.

Согласно выражению (5.4) риск портфеля, состоящего из двух акций, является функцией от одной переменной n_A. Поэтому условие минимизации риска портфеля можно представить следующим равенством:

,

(5.5)

Чтобы убедиться в том, что найденный экстремум является минимумом, определим вторую производную

;

так как -1    +1, то вторая производная всегда неотрицательна.