Математическое приложение 1:
Линейные конечно-разностные уравнения второго порядка¹⁵

Динамика объектов различной природы часто описывается уравнениями вида

xt = F(xt-1, xt-2, ... , xt-n),

(1)

связывающими состояние объекта x_t в любой момент времени t с состояниями в предшествующие моменты времени. Решение уравнения (1) n-го порядка определено однозначно, если заданы n так называемых начальных условий. Обычно в качестве начальных условий рассматриваются значения x_t при t = 0, 1,..., n - 1.

Подставляя начальные значения x_n-1, ... , x₁, x₀ и t = n в качестве аргументов функции в правой части (1), находим x_n; используя найденное значение и подставляя теперь x_n, x_n-1, ... , x₂ x₁ и t = n + 1 в качестве аргументов функции, находим x_n+1, и т.д. Процесс может быть продолжен до тех пор, пока не будут исчерпаны все представляющие интерес значения t.

В 9.2 используются конечно-разностные уравнения вида x_t = a₁x_t-1 + a₂x_t-2 + f(t) - линейные конечно-разностные уравнения второго порядка, являющиеся частным видом уравнения (1). Они называются однородными, если
f(t) = 0 при любых t, неоднородными - в противном случае. И для нахождения, и для исследования свойств решения однородного уравнения

xt = a1xt-1 + a2xt-2

(2)

используется так называемое характеристическое уравнение

2 - a1 - a2

(3)

Обозначим его корни ₁, ₂ и запишем

В теории конечно-разностных уравнений¹⁶ доказывается, что при _1  2 решение уравнения (2) описывается равенством

(4)

где A₁ и A₂ - постоянные, определяемые начальными условиями.

Если же ₁ = ₂ = , то решение имеет вид

(5)

Решение уравнения (2) зависит от значения дискриминанта характеристического уравнения (3).

Рассмотрим возникающие при этом случаи.
1. D > 0. Характеристическое уравнение имеет два различных вещественных корня. Решение описывается равенством (4); если оба корня положительны, то обе компоненты решения - монотонные геометрические прогрессии. Если имеются отрицательные корни, то каждому из них отвечает знакочередующаяся составляющая решения (4).
2. D = 0. Характеристическое уравнение имеет совпадающие вещественные корни, и решение имеет вид (5).
3. D < 0. Характеристическое уравнение имеет пару сопряженных комплексных корней: _1,2 =   i .

Равенство (4) при этом справедливо, но неудобно для использования, так как вещественный процесс при этом описывается как сумма комплексных составляющих. Более удобную форму решения можно получить, используя тригонометрическое представление корней: _1,2 = g(cos  sin), где Такое представление позволяет описать решение уравнения (2) равенством

(6)

где B₁ и B₂ - постоянные, определяемые начальными условиями.

Таким образом, при D < 0 решение носит характер колебаний, амплитуда которых возрастает (при g > 1) или убывает (при g < 1); если частота выражена в радианах, то период колебаний T = 2/.

На рисунке парабола AOB, описываемая уравнением a₁² + 4a₂ = 0, соответствует случаю D = 0. Левее параболы располагается область, соответствующая случаю D > 0, правее - случаю D < 0.

Области затухающих и взрывных колебаний

Решение уравнения (2) называют равновесным, если значение x_t не изменяется во времени. Подстановкой в уравнение (2) можно убедиться, что x_t = 0 есть равновесное решение. Равновесное решение называется устойчивым, если x_t  0 при t  ; в противном случае оно называется неустойчивым. Равенства (4) и (5) показывают, что решение будет устойчивым в том и только в том случае, если оба корня характеристического уравнения по модулю меньше единицы. В случае D < 0 условию устойчивости соответствует g < 1, так как при этом необходимым и достаточным условием устойчивости является a₂ > -1. По теореме Виета  ₁₂ = -a₂, так что условие a₂ > -1 необходимо и в случае D > 0, но здесь оно не является достаточным. Система неравенств

дает необходимое и достаточное условие устойчивости для данного случая. Для этого требуется, чтобы выполнялось неравенство

Систему можно заменить одним неравенством

Последнему неравенству отвечают точки внутри угла ACB на рисунке.

Объединяя все полученные результаты, условие устойчивости можно представить в виде двойного неравенства

(7)

которому соответствуют внутренние точки треугольника ACB.

Уравнение (9.2) имеет вид уравнения (2), при этом

Заметим, что C_y  0 и   0 в силу экономического содержания этих параметров. Согласно теореме Виета,

(8)

Условие D = 0, разделяющее колебательные и неколебательные решения, теперь имеет вид

При характеристическое уравнение имеет вещественные корни. Из неотрицательности параметров C_y и и равенств (8) следует, что оба корня неотрицательны и обе компоненты решения (4) изменяются монотонно. При решение носит колебательный характер.

Условие устойчивости (7) теперь принимает вид

т.е. представляет собой систему неравенств

На рис. 9.2 устойчивому движению соответствуют области I (монотонное движение) и II (колебательное движение). Неустойчивому движению соответствуют области III (колебательное движение) и IV (монотонное). Области V соответствуют синусоидальные колебания с постоянной амплитудой.

Моделям, рассмотренным в 9.1.2, соответствует однородное конечноразностное уравнение вида

где m = l для уравнения (9.8) и m = - h для уравнения (9.9). Вследствие этого парабола AOB смещается (см. рисунок, правая часть).

Обозначим Тогда уравнению можно придать вид, аналогичный уравнению (9.2):

Таким образом, все приведенные выше условия относительно параметров C_y и переносятся на параметры Кривая, разделяющая области монотонного и колебательного решений, теперь описывается уравнением

Условие устойчивости принимает вид системы неравенств:

Графически при m > 0 это соответствует сдвигу всех построений на m единиц влево и на такую же величину вверх; значениям m < 0 соответствует сдвиг в противоположном направлении.