Математическое приложение 2:
Построение интегральной кривой

Запишем уравнения (9.18) и (9.22) в следующем виде:

Разделив левые и правые части этих уравнений друг на друга, получим

(1)

Интеграл уравнения (1) равен

(2)

где A - интегральная постоянная.

Из уравнения (2) следует

(3)

Обозначим: и теперь равенство (3) принимает вид

а после введения обозначений получим

(4)

Уравнение (4) описывает семейство интегральных кривых для системы дифференциальных уравнений (9.18) и (9.22). Каждому значению A соответствует своя кривая.

Для графического построения интегральной кривой исследуем дефиниционные функции: и Поскольку _t и _t больше нуля, то Y_t и X_t тоже положительны, а следовательно, их графики целиком располагаются в квадрантах с осями Y_t, _t и X_t, _t.

Для определения экстремума Y_t приравняем ее первую производную нулю:

Следовательно, экстремум Y_t достигается при Поскольку

то найденный экстремум является минимумом.

Экстремум X_t достигается при

т.е. при Поскольку

то достигнут максимум.

На основе проведенного анализа построена интегральная кривая (см. рисунок).

Построение интегральной кривой