Приложение 2: Модель ОЭР Патинкина

Меновое хозяйство состоит из трех индивидов, потребляющих три вида благ A, B и H. В исходном состоянии первый потребитель имеет Q_A0, второй - Q_B0 и третий - Q_H0 ед. указанного блага; кроме того, у каждого есть определенная сумма денег: M_0i; i = 1,2,3. Поэтому индивиды совершают обмен при следующих бюджетных ограничениях:

Известны функции полезности каждого потребителя

где Q_ij - объем потребления j-го блага (j = A, B, H) i-м индивидом; M_i/P - реальные кассовые остатки i-го индивида.

Функции спроса потребителей на каждое из благ и на реальные кассовые остатки выводятся из максимизации функции полезности при заданном бюджетном ограничении; используем для этого функцию Лагранжа.

Условия ее максимизации

Из них выводятся следующие функции спроса:

Система номинальных (денежных) цен, обеспечивающая общее экономическое равновесие, должна приравнять объемы спроса имеющимся запасам

В соответствии с законом Вальраса только три из этих четырех уравнений являются независимыми. Поэтому для нахождения вектора равновесных денежных цен и уровня цен (P_A, P_B, P_H, P) к условиям равновесия на рынках добавляется уравнение количественной теории денег: MV = P_AQ_A0 + P_BQ_B0 + P_HQ_H0.

Пример. Функции полезности потребителей имеют вид

Исходные запасы благ и денег следующие: Q_A0 = 30; Q_B0 = 40; Q_H0 = 50; M₀₁ = 14 M₀₂ = 18; M₀₃ = 18.

В этих условиях индивиды будут иметь следующие функции спроса:

Для нахождения равновесных денежных цены и уровня цен используем условия равновесия на рынках благ А и В и денежном рынке, а также уравнение количественной теории денег, приняв V = 2.

Решение этой системы уравнений дает: P_A = 1,624; P_B = 0,598; P_H = 0,547; P = 1.

При таких ценах на всех рынках устанавливается равновесие (табл. 1).

Таблица 1

Общее экономическое равновесие

Рынок	Спрос				Предложение
	I	II	III	всего
Блага А	12,96	7,03	10,1	30	30
Блага B	21,6	8,59	9,81	40	40
Блага H	16,2	15,39	18,41	50	50
Денег	19,9	16,95	13,15	50	50

Если уровень цен возрастет, например, в 2 раза, т.е. P_A = 3,248 P_B = 1,196; P_H = 1,094, P = 2, то проявится эффект реальных кассовых остатков: на рынке благ, будет избыток, а на рынке денег - дефицит (табл. 2).

Таблица 2

Нарушение ОЭР при изменении уровня цен

Рынок	Спрос				Предложение
	I	II	III	всего
Блага А	11,23	5,64	8,35	25,22	30
Блага B	18,67	5,57	7,55	31,79	40
Блага H	14,28	8,81	14,3	37,39	50
Денег	37,0	31,2	20,89	89,09	50

Только в том случае, если одновременно с удвоением уровня цен в 2 раза увеличится количество находящихся в обращении денег, т.е. M₀₁ = 28; M₀₂ = 36; M₀₃ = 36, общее равновесие не нарушится (табл. 3):

Таблица 3

Сохранение ОЭР при повышении уровня цен и количества денег

Рынок	Спрос				Предложение
	I	II	III	всего
Блага А	12,96	7,03	10,1	30	30
Блага B	21,6	8,59	9,81	40	40
Блага H	16,2	15,39	18,41	50	50
Денег	39,8	33,9	26,3	100	100