Некооперативная игра с двумя участниками и нулевой суммой выигрыша

Поскольку x_ij + y_ij = 0, то y_ij = –x_ij и поэтому в платежной матрице можно оставить только x_ij, полагая, что при x_ij > 0 игрок В платит игроку А, а при x_ij < 0 игрок А платит игроку В. Тогда платежная матрица принимает вид табл. 2.

Таблица 2

Стратегии игрока В b1 b2 ... bj ... bn Стратегии игрока А a1 x11 x12 ... x1j ... x1n a2 x21 x22 ... x2j ... x2n ... ... ... ... ... ... ... ai ... ... ... xij ... ... ... ... ... ... ... ... ... am xm1 xm2 ... xmjj ... xmn

В такой игре имеет место полный конфликт интересов. Поэтому каждый игрок считает, что соперник выберет наихудшую для него (игрока) стратегию.
Для принятия решения игрок А в каждой строке находит минимум и из образовавшегося столбца минимумов выбирает максимальное значение. Аналогично игрок В (поскольку x_ij представляют его выплаты игроку А) в каждой строке находит максимум и из образовавшегося строки максимумов выбирает минимальное значение. Такое поведение игроков получило название поведение по критерию maximin. Оно крайне пессимистично.

Пример:

Таблица 3a

Стратегии игрока В min j max i min j b1 b2 b3 b4 Стратегии игрока A a1 2 1 10 11 1 1 a2 –2 –1 1 –3 –3 a3 –3 –5 –1 12 -5   max i 2 1 10 12   min j max i 1

Выбирая стратегию b₂, игрок В гарантирует себе, что при любом исходе ему не придется платить больше 1. В свою очередь, игрок А, выбирая стратегию a₁, может быть уверен, что получит не меньше 1.

В рассматриваемом примере для игрока А стратегия a₁ доминирует над стратегией a₂, так как при любом поведении игрока В стратегия a₁ обеспечивает ему больший выигрыш, чем стратегия a₂. Из аналогичных рассуждений следует, что для игрока В стратегия b₂ доминирует над стратегией b₃; при выборе стратегии b₂ все его возможные выплаты игроку А меньше (соответственно, В получает от А больше), чем при выборе стратегии b₃.

Следовательно, игрок А никогда не выберет стратегию a₂, а игрок В стратегию b₃. Удалив из платежной матрицы доминирующие стратегии, получим табл. 3b.

Пара стратегий (a*, b*), обеспечивающая равенство , называется седловым решением игры. Решение maximin может быть только в некооперативной игре с двумя участниками и нулевой (постоянной) суммой выигрыша.

Наглядно седловое решение иллюстрирует  1.