8.2.1. Пример

8.2. Модель общего экономического равновесия Вальраса

Условие:

Экономика состоит из двух потребителей (I,II) и двух фирм (A, B), производящих по одному виду продукции. Предпочтения потребителей представлены их функциями полезности:

где Q_j,_i количество j-го блага, потребляемого i-м индивидом.

В виде карт безразличия предпочтения потребителей выглядят так: 1.

Доходы (бюджеты) потребителей формируются за счет продажи фирмам труда и капитала:

Кроме того, при наличии у фирм прибыли она полностью распределяется между собственниками капитала, т.е. потребитель I получает 60%, а потребитель II – 40% прибыли.

Фирмы работают по технологиям, представленным следующими производственными функциями:

В графическом виде их показывает: 2.

Цель потребителей – максимизация функций полезности, цель фирм – максимизация прибыли. Для каждого экономического субъекта цены на блага и факторы производства экзогенно заданы. Определим для данной экономики систему равновесных цен.

Формализуем сперва поведение фирм:

Из условия равновесия фирмы следует: .
Поэтому общие затраты фирмы А равны: ,
а прибыль: .
Она достигает максимума при .

Отсюда определяются функции спроса фирмы А на труд и капитал в состоянии равновесия:

Подставив эти значения в производственную функцию, получим функцию предложения фирмы А:

В графическом виде выведенные функции можно представить, задав значения цен на факторы производства: 3.

Аналогично определяются функции спроса на факторы производства и предложения блага для фирмы В:

; .

Обратим внимание на то, что объемы спроса и предложения производителей определяются только системой цен. Поэтому и прибыль можно представить в виде функции от вектора цен. Используя формулу , получаем:

Для определения бюджета потребителей нам потребуется величина суммарной прибыли обеих фирм:

Теперь перейдем к формализации поведения потребителей

Потребители I и II максимизируют свои функции полезности при следующих бюджетных ограничениях:

На основе функции полезности потребителя I и его бюджетного уравнения составим функцию Лагранжа: .
Из условий ее максимизации следует .

Подставив полученное значение в бюджетное уравнение, определим функции спроса потребителя I на каждое благо:

Аналогично выводятся функции спроса на блага потребителя II:

На основе выведенных функций составим модель общего экономического равновесия:

В соответствии с законом Вальраса вектор цен, обеспечивающий равновесие на трех первых рынках, уравнивает спрос и предложение и на четвертом рынке. На основе выведенных выше функций получаем систему:

Чтобы довести число неизвестных до числа уравнений, примем: . Тогда из решения системы получаем: При таких ценах
Тогда бюджет первого потребителя – M_I = , а бюджет второго – M_II = .

Эта система цен обеспечивает совместное равновесие на всех четырех рынках:

	Потребитель			Фирма
Рынок	I	II	всего	А	В	всего
	предложение			спрос
Труда	8	10	18	6,16	11,84	18
Капитала	12	8	20	14,45	5,55	20
	спрос			предложение
Блага А	4,55	2,01	6,56	6,56		6,56
Блага В	2,24	3,97	6,21		6,21	6,21

4 представляет ОЭР на графиках.